简介

这篇论文是令我印象深刻的几篇关于MIT Cheetah的论文。除此之外还有MIT Cheetah 3提出使用凸优化的方法达到很好的动态控制效果，也算是我正式理解了四足动态控制的关键点。还有一篇就是Mini Cheetah的论文，它提出了低成本的四足机器人方案，在国内可以在1W5左右的成本做出一台四足机器人。

这篇论文第一章是Introduction，介绍了各种四足的控制方法，包括SLIP、WBC、MPC、Nonlinear TO、RL等。

理论与模型定义

第二章开始文章主体部分，从机器人理论建模开始。

机器人的质心(CoM)表示为：

$$\bold{p} = \left[ \begin{array}{l} p_x \\ p_y \\ p_z \end{array} \right]$$

机器人的质心速度表示为：

$$\dot{\bold{p}} = \left[ \begin{array}{l} \dot{p_x} \\ \dot{p_y} \\ \dot{p_z} \end{array} \right]$$

$$^{B}\dot{\bold{p}} = \left[ \begin{array}{l} ^{B}\dot{p_x} \\ ^{B}\dot{p_y} \\ ^{B}\dot{p_z} \end{array} \right]$$

$$\dot{\bold{p}} = ^{I}\bold{R}_{B} \\ ^{B}\dot{\bold{p}}$$

对于机器人的身体旋转表示，文章中提到了三种方法，分别是欧拉角、四元数和旋转矩阵。本文中用到的主要与控制相关的方法是欧拉角。

欧拉角表示如下：

$$\bold{\Theta} = \left[ \begin{array}{l} \theta \\ \phi \\ \psi \end{array} \right]$$

$$\dot{\bold{\Theta}} = \left[ \begin{array}{l} \dot{\theta} \\ \dot{\phi} \\ \dot{\psi} \end{array} \right]$$

四元数表示如下：

$$\dot{\bold{q}} = \left[ \begin{array}{l} q_r \\ q_i \\ q_j \\ q_k \end{array} \right]$$

旋转矩阵相关的计算如下：

$$^{I}\dot{\bold{R}}_{B} = ^{I}\bold{R}_{B} [^{B}\omega]_{\times}$$

腿部的关节与足部末端的定义如下：

$$\dot{\bold{q}} = \left[ \begin{array}{l} q_{i,Ab/Ad} \\ q_{i,hip} \\ q_{i,knee} \end{array} \right] \bold{p} = \left[ \begin{array}{l} p_{i,x} \\ p_{i,y} \\ p_{i,z} \end{array} \right]$$

控制架构

控制结构如下图所示，通过手柄输入期望的控制，经过控制器解算后得到机器人的关节控制力矩。其中摆动腿与支撑腿用不同的控制方法，支撑腿用力控制，摆动腿用带补偿的PD控制。

状态估计

MIT这个机器人控制中，很重要的一个部分就是通过机器人的本体传感器，包括关节力矩传感器和IMU，不额外加视觉等传感器，机器人通过估计算法准确的得知机器人当前状态。我记得最早的四足相关的状态估计的论文是ETH出的，使用EKF进行估计，本文进行化简后，可以直接使用Kalman Filter进行状态估计。

状态转移函数如下

$$\dot{\bold{{p}}} = \bold{v}$$

$$\dot{\bold{v}} = ^{I}\dot{\bold{R}}_{B} \\ ^{b}a + \bold{g} + \bold{\omega}_v$$

$$\dot{\bold{p}}_{i} = \dot{\bold{\omega}}_{p_i}$$

在后续文章里，我会补充关于Kalman Filer部分的公式。这里的基本思想就是，依靠支撑腿与IMU结合来估计身体的速度姿态等信息。

腿部控制

1. 摆动腿控制

$$\bold{\tau}_{FF,i} = \bold{J}^{T}_{i} \Lambda_i (^{B}a_{i,ref} - \dot{\bold{J}}_i \dot{\bold{a}}_i) + \bold{C}_i \dot{\bold{q}}_i + \bold{G}_i$$

$$\bold{\tau}_{FB,i} = \bold{J}^{T}_{i}[ \bold{K}_p (^{B}\bold{p}_{i,ref} - ^{B}\bold{p}_i) + \bold{K}_d (^{B}\bold{v}_{i,ref} - ^{B}\bold{v}_i)]$$

$$\bold{\tau}_i = \bold{\tau}_{FF,i} + \bold{\tau}_{FB,i}$$

2. 支撑腿力控制

$$\bold{\tau}_i = \bold{J}^{T}_{i} \bold{f}_i$$

步态规划

这篇论文使用步态相位这种方法来定义步态，通过这种方法可以直接用统一的参数定义比如Trot、Gallop、Walk等步态。论文使用下述参数来计算当前腿的相位或者是状态。这是一个很巧妙的办法，我个人觉得这种方法可以用在强化学习中，作为某种待优化的参数，来使机器人学习到更好的控制策略。

$$\Phi_i = mod \left( \tfrac{t-t_{0,i}}{T_p} , 1 \right)$$

足部触地检测

这部分可以参考MIT的论文，Contact Model Fusion for Event-based Locomotion in Unstructred Terrains。理论部分比较多，就不详细展开了。
我个人觉得可以用仿真加随机化获得数据，通过神经网络训练一个检测器出来，结合Sim-To-Real的理念，想办法直接用在实际机器人上。

Regularized Predictive Control

这一章是本文的重点，是控制算法的核心。Regularized Predictive Control在普通MPC算法的基础上，添加人为设计的运动约束，使得机器人具有更好的运动效果。论文中提到：

• The philosophy behind RPC is to use our knowledge of robotic and legged systems to inform the optimization.

MIT还有一篇论文是在MPC的基础上添加Whole Body Control来优化机器人的关节输出，两个方法都有可取之处，不过在我看来，如果四足的运动控制板性能有限，可以考虑选择一个计算量需求小一点的算法，来进行整体的权衡。 （说的就是Up Board）

选择合适的Regular Heuristics Cost Function可以提高优化的结果并提升计算速度，但是若选择了不合适的函数，则可能只能求得局部最优解，甚至无法求解。为了避免手工设计的Heuristics Cost Function具有缺陷，后文作者使用一种基于学习的方法来得到更优的Heuristics Cost Function

MPC Control

这一节主要介绍MPC算法。

为了达到实时的MPC控制，我们需要尽量减少计算量，同时又要保证计算结果的有效性，因此在这里选择了简化模型的方法。

在该模型中，机器人状态定义如下：

$$\bold{x} = \left[ \begin{array}{l} \bold{p} \\ \bold{\Theta} \\ \dot{\bold{p}} \\ \dot{\bold{\Theta}} \end{array} \right]$$

其中， $\bold{p}$ 代表机器人位置， $\bold{\Theta}$代表机器人朝向的欧拉角表示。机器人的控制量为：

$$\bold{u} = \left[ \begin{array}{l} \bold{r}_1 \\ \bold{f}_1 \\ ... \\ \bold{r}_F \\ \bold{f}_F \end{array} \right]$$

由此得到的机器人化简后离散系统的动力学：

$$\bold{x}_{k+1} = \bold{A}(\Delta t_k)\bold{x}_k + \bold{B}(\Delta t_k)h(\bold{x}_k, \bold{u}_k, \bold{\Phi}_k) + \bold{d}(\Delta t_k)$$

其中：

$$\bold{A}(\Delta t_k) = \left[ \begin{array}{l} \bold{I}_6 & \Delta t_k \bold{I}_6 \\ \bold{0}_6 & \bold{I}_6 \end{array} \right], \bold{B}(\Delta t_k) = \left[ \begin{array}{l} \tfrac{\Delta t_k^2}{2}\bold{I}^{-1} \\ \Delta t_k \bold{I}^{-1} \end{array} \right], \bold{d}(\Delta t_k) = \left[ \begin{array}{l} \tfrac{\Delta t_k^2}{2} \bold{a}_g \\ \Delta t_k \bold{a}_g \end{array} \right], \bold{a}_g = [\bold{g}^T \ \bold{0}_{3 \times 1}^T]^T$$

$h(\bold{x}_k, \bold{u}_k, \bold{\Phi}_k)$函数是用于计算足部力与身体力矩的关系矩阵。

在前文提到过，机器人假设欧拉角中roll和pitch角很小，由此简化了动力学模型。MPC就是在前述的动力学方程上加上约束得到的。比如足部力需要满足摩擦角约束，比如足部力必须指向地面之类的，再通过非线性求解器得到输出控制量，进行机器人控制。

Regularized MPC

为了进一步优化MPC表现，作者提出了对常规MPC添加Cost Function的方法来改善结果。而Cost Function是通过学习方法得到的。我个人对这个部分不感兴趣，所以没有深入研究。