最近在学习GAMES104课程的过程中，对其中物理仿真的部分有点兴趣，最近就开始学习一些物理仿真的相关内容。在这里我看的书是基于物理的建模与动画这本书，这本书里对粒子仿真进行了详细介绍。如果希望学习刚体仿真的相关内容，Game Physics in One Weekend Series是一个很好的开始，里面有很多代码示例，更重要的是书的配套代码提供了很好的练习，可以快速掌握实现代码。
本节主要是对模拟部分的基础进行总结，并假设读者有一定的线性代数的知识。

基本知识

创建物理模拟的动画(Physically Based Animation)的两个关键要素是模型(Model)与仿真(Simulation)。基于物理的模型规定了物理对模型运动规则的支配，仿真则是根据基于物理的模型，以及初始条件，来尝试判断物体行为如何随时间变化。为了达到实时的效果，模型与仿真方法的选择需要很多权衡。
对于物理仿真来说，最基本的定律就是牛顿三定律：

1. 除非施加外力，物体将会保持原有运动状态
2. 物体受到的力，等于质量乘以加速度
3. 物体之间的力是相互作用的
   由此可得到以下公式：

$$\mathbf{v} = \mathrm{d}\mathbf{x} / \mathrm{d}t$$

$$\mathbf{a} = \mathrm{d}\mathbf{v} / \mathrm{d}t$$

$$\mathbf{a} = \mathrm{d}(\mathrm{d}\mathbf{x} / \mathrm{d}t) / \mathrm{d}t = \mathrm{d}^2\mathbf{x} / \mathrm{d}t^2$$

上述公式可以简写为：

$$\mathbf{v} = \mathbf{\dot{x}}, \mathbf{a} = \mathbf{\dot{v}}, \mathbf{a} = \mathbf{\ddot{x}}$$

反向来看，就可以积分得到：

$$\mathbf{v} = \int_{}^{} \mathbf{a} \mathrm{d}t$$

$$\mathbf{x} = \int_{}^{} \mathbf{v} \mathrm{d}t$$

在实际应用中，我们将离散的时间步对上述公式求数值积分。

基本模拟循环

仿真运行的基本循环过程如下：

t = 0
while t < t_max
    get current force
    calculate acceleration
    get new state
    update state
    t = t + h

数值近似方法

最简单直接的方法就是使用欧拉积分：

$$\mathbf{v}^{[n+1]} = \mathbf{v}^{[n]} + \mathbf{a}^{[n]}h$$

$$\mathbf{x}^{[n+1]} = \mathbf{x}^{[n]} + \mathbf{v}^{[n]}h$$

但是使用这个方法往往与正确结果差距甚远，因此需要改进积分方法。由于欧拉积分的位置落后于精确解的位置，因此改进为下述公式：

$$\mathbf{v}^{[n+1]} = \mathbf{v}^{[n]} + \mathbf{a}^{[n]}h$$

$$\mathbf{x}^{[n+1]} = \mathbf{x}^{[n]} + \mathbf{v}^{[n+1]}h$$

改进后的结果超前于精确解，因此继续提出：

$$\mathbf{v}^{[n+1]} = \mathbf{v}^{[n]} + \mathbf{a}^{[n]}h$$

$$\mathbf{x}^{[n+1]} = \mathbf{x}^{[n]} + (\mathbf{v}^{[n]} + \mathbf{v}^{[n+1]})/2 h$$

改进后的结果可以得到更精确的解，但这只是初步优化，若希望得到更通用的方法，需要更复杂的计算，本书的后续章节会介绍这些。

空气中的三维运动

在三维空间中的质点运动，由于不同运动方向上互不干扰，因此可以由简单的一维情况进行扩展，分别在三个维度应用运动规律，求出实际的运动仿真结果。
而对空气中运动的物体来说，空气阻力是必须要考虑的因素。简化的空气阻力公式如下：

$$\mathbf{F} = -d\mathbf{v}$$

由这个公式可以得到物体加速度，用于仿真中。
对于风的仿真与此类似，可以用下述公式来近似风的作用力：

$$\mathbf{F}_{wind} = d\mathbf{w}_{wind}$$

总结

本章主要介绍了一些基本的粒子仿真知识，可以由此做出一个简单的三维粒子仿真器。若希望有更复杂的行为，在后续章节将会一一介绍。

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